PERSAMAAN GERAK
Posisi
titik materi dapat dinyatakan dengan sebuah VEKTOR, baik pada suatu
bidang datar maupun dalam bidang ruang.
Vektor yang
dipergunakan untuk menentukan posisi disebut VEKTOR POSISI yang ditulis dalam
Vektor satuan.
VEKTOR SATUAN.
/ / = / / = / / = 1
adalah vektor satuan
pada sumbu x.
adalah vektor satuan
pada sumbyu y.
adalah vektor satuan
pada sumbu z.
POSISI TITIK
MATERI PADA SUATU BIDANG DATAR.
Posisi
titik materi ini dapat dinyatakan dengan : = x + y
Contoh : = 5 + 3
Panjang
r ditulis / / = / 0A /
/
/ =
=
= satuan
POSISI TITIK MATERI PADA SUATU
RUANG.
Posisi
titik materi ini dapat dinyatakan dengan : = x + y + z
Contoh : = 4 + 3 + 2
Panjang
vektor ditulis / /
/
/ =
=
= satuan
KECEPATAN
SUATU TITIK MATERI.
Gerakan
titik materi secara keseluruhan dapat diamati jika posisinya setiap saat
diketahui. Seberapa cepat letak titik materi itu berubah setiap saat disebut : KECEPATAN .
PERHATIKAN.
Titik
materi yang bergerak dari A yang posisinya 1 pada saat t1, ke titik B yang
posisinya 2 pada saat t2.
Vektor
perpindahannya dan selang
waktu yang dipergunakan titik materi untuk bergerak dari A ke B adalah
Kecepatan rata-rata didefinisikan :
Pada
persamaan di atas tampak bahwa kecepatan rata-rata tidak tergantung pada
lintasan titik materi, tetapi tergantung dari posisi awal ( ) dan
posisi akhir (). Jika ingin diketahui kecepatan titik materi pada suatu
saat misal saat titik materi berada di antara A dan B, digunakan kecepatan
sesaat.
Kecepatan sesaat didefinisikan :
Secara matematis ditulis sebagai :
Jadi
kecepatan sesaat merupakan turunan pertama dari posisi terhadap waktu (t)
Besarnya
kecepatan disebut dengan laju
Laju didefinisikan sebagai :
Laju dapat
pula berarti panjang lintasan dibagi waktu yang bersangkutan.
Nilai dari
komponen kecepatan sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan
grafik yang dibentuk oleh komponen posisi ( r ) terhadap waktu ( t ).
Persamaan
kecepatan sesaat dari grafik di samping di dapat :
v1
= tg a1
v2
= tg a2
Makin besar
derajat kemiringannya makin besar pula harga kecepatannya.
Posisi dari
suatu titik materi yang bergerak merupakan fungsi waktu, oleh karena itu,
vektor posisi dapat ditulis sebagai = ( t ) artinya merupakan fungsi waktu
( t ).
Kecepatan
titik materi pada sebuah bidang datar/ruang dapat ditulis :
X, Y, Z
merupakan fungsi dari waktu.
Sebaliknya
untuk menentukan posisi titik materi jika diketahui fungsi kecepatannya maka
dapat diselesaikan dengan INTEGRAL ( kebalikan dari
deferensial ).
Contoh :
v(t) = 2 t
+ 5 m/det
maka
persamaan posisi titik materi tersebut adalah ......
=
= t 2 + 5
t +
C meter
Dengan C
adalah suatu konstanta.
Harga C
dicari dengan suatu syarat batas tertentu, misalnya :
t = 0 (t) = 0 maka harga C dapat dihitung C = 0
PERCEPATAN
Kecepatan
titik materi dapat berubah-ubah setiap saat baik besar, atau arah, ataupun
kedua-duanya yang disebabkan oleh karena adanya percepatan yang dialami
oleh titik materi tersebut.
Jika pada
saat t1 kecepatan v1 dan pada saat t2
kecepatannya v2, percepatan rata-ratanya dalam selang waktu D t = t 2 -t 1 didefinisikan sebagai :
Percepatan sesaatnya :
Percepatan
merupakan tutunan pertama dari kecepatan terhadap waktu (t) atau turunan kedua
dari posisi terhadap waktu (t).
Kecepatan
sesaat dari suatu titik materi dapat dilihat dari kemiringan komponen grafik
kecepatan (v) terhadap waktu (t).
dari grafik
di samping besar percepatan sesaat :
a 1 =
tg a 1
a 2
= tg a 2
Percepatan dalam arah masing-masing
sumbu dalam bidang/ruang dapat dituliskan sebagai :
Sebaliknya
untuk menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan terhadap waktu dengan
cara mengintegralkan
:
KESIMPULAN :
Posisi
titik materi, kecepatan dan percepatan merupakan besaran vektor, sehingga dapat
dinyatakan dengan VEKTOR SATUAN.
POSISI
KECEPATAN
PERCEPATAN
CONTOH SOAL.
(akan dibahas di kelas)
CONTOH 1.
Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu x dengan posisi :
2.
Carilah kedudukan benda pada saat
t = 3 detik.
3.
Hitunglah perpindahan/pergeseran
selama 3 detik pertama.
4.
Hitunglah kecepatan rata-rata
selama 2 detik pertama.
5.
Hitunglah kecepatan rata-rata
selama 2 detik kedua.
6.
Hitunglah kecepatan pada saat t =
2 detik.
7.
Hitunglah percepatan rata-rata
selama 2 detik ketiga.
8.
Hitunglah percepatan pada saat t
= 3 detik.
9.
Hitunglah kecepatan dan
percepatan pada saat benda di x = 0
10.
carilah kedudukan benda pada saat
kecepatannya NOL.
11.
Carilah kedudukan benda pada saat
kecepatannya maksimum
12.
Hitunglah selang waktu benda
bergerak ke kiri.
13.
Hitunglah selang waktu benda
bergerak ke kanan.
14.
Hitunglah waktu yang dibutuhkan
benda untuk kembali ke tempat semula setelah bergerak.
15.
Carilah kedudukan benda saat
benda tepat berbalik arah.
16.
Carilah kledudukan benda pada
saat percepatannya 10 m/s2
17.
Carilah kedudukan benda pada saat
kecepatannya 11 m/s
18.
Hitunglah panjang lintasan yang
ditempuh selama 3 detik pertama.
CONTOH 2.
Suatu benda bergerak dengan vektor percepatan sebagai berikut :
Y
5 a
0
3 X
Pada saat t = 0 vx = 2
, vy = 0 dan rx = 2 , ry = 4
2.
Hitunglah kelajuan rata-rata 2
detik pertama.
3. Hitunglah kelajuan pada saat t = 2 detik.
4. Hitunglah pergeseran pada saat 2 detik pertama.
5. Hitunglah kecepatan rata-rata 2 detik kedua.
6. Hitunglah kecepatan pada saat t = 4 detik.
7. Carilah posisi titik pada detik kedua.
CONTOH 3.
Suatu benda bergerak sepanjang sumbu-x dengan grafik
fungsi percepatan terhadap waktu sebagai berikut :
a(m/s2)
6
0
6 t (s)
Pada saat t =
0, v = 0 dan x = 0
2.
Carilah kedudukan benda pada saat
t = 3 detik.
3.
Hitunglah perpindahan selama 3
detik pertama.
4.
Hitunglah kecepatan rata-rata
selama 2 detik kedua.
5.
Hitunglah kecepatan pada saat t =
2 detik.
6.
Hitunglah kecepatan pada saat
benda kembali ke titik asal setelah bergerak.
7.
Carilah kedudukan benda pada saat
jkecepatannya maksimum.
8.
Hitunglah selang waktu benda
bergerak ke kiri.
9.
Hitunglah selang waktu benda
bergerak ke kanan.
10.
Carilah kedudukan benda pada saat
benda tepat berbalik arah.
11.
Hitunglah panjang lintasan yang
ditempuh selama 3 detik pertama.
CONTOH 4.
Suatu benda bergerak sepanjang sumbu x dengan percepatan sebesar :
A = 2x + 4 pada saat x = 0 v = 4 m/s. Hitunglah kecepatannya pada x = 4
meter.
CONTOH 5.
a(m/s2)
6
4
0 4 7 t(s)
Suatu benda bergerak sepanjang sumbu x dengan grafik percepatan terhadap
waktu seperti grafik di atas. Pada saat t = 0 , v = 2 m/s dan x = 10 m.
2.
Hitunglah keceptan rata-rata pada
selang waktu t = 3 detik dan
t = 6
detik.
3.
Hitunglah jarak yang ditempuh t =
0 hingga detik ke lima.
TUGAS
SOAL-SOAL
1. Sebuah partikel bergerak searah dengan sumbu
x , percepatannya a = 5t + 4 (a dalam
m/s2 dan t dalam detik).
Mula-mula partikel tersebut terletak pada x = 10 meter
dengan kecepatan 6 m/detik. Tentukanlah :
a.
Posisi partikel pada t = 4 detik.
b.
Kecepatan partikel pada t = 5 detik.
c.
Posisi partikel pada saat kecepatannya 12 m/detik.
d.
Kecepatan partikel pada saat percepatannya 20 m/s2.
2.
Suatu benda bergerak sepanjang sumbu-x mengikuti
persamaan x = 2t3 + 5t2 - 5 dengan x dalam meter dan t
dalam detik.
a. Tentukan persaman kecepatan dan persamaan percepatan.
b. Tentukan posisi, kecepatan dan percepatan pada t = 2 s.
c. Tentukan kecepatan rata-rata serta percepatan rata-rata
antara t = 2 s dan t = 3 s.
3.
Benda dengan kecepatan awal nol dipercepat dengan ax
= 3 m/s2 dan ay = -4 m/s2
selama periode 2
detik. Carilah besar dan arah v pada akhir dari waktu itu.
4.
Gerakan sebuah partikel merupakan fungsi posisi yang
dinyatakan dengan persamaan a = 4x +
3 (a dalam m/det2 dan x dalam
meter) pada saat x = 0 kecepatannya 2 m/detik. Tentukan kecepatan partikel
tersebut pada saat x = 6 m
5.
Suatu benda bergerak sepanjang sumbu x dengan :
Dimana posisi benda tersebut pada
saat kecepatnnya maksimum.
6.
Suatu benda mempunyai vector posisi :
dan
Tentukan persamaan kecepatan pada saat
perlajuannya 2 satuan.
7. a (m/s)
6
t (s)
3 6 12
Benda bergerak sepanjang sumbu x menurut
grafik percepatan seperti di atas.
Pada saat t = 0, v = 0 dan r = 0. carilah
posisi benda pada saat detik ke-9
8. a(m/s)
4
A B
2
2 4 t (s)
Benda A dan B bergerak sepanjang sumbu x, menurut grafik
percepatan di atas, keduanya berangkat bersamaan dan dari tempat yang sama
menuju arah yang sama, pada saat t = 0, v = 0 dan r = 0, kapan dan dimana A dan
B bertemu kembali.
----o0o---o0o---o0o---o0o----
Tidak ada komentar:
Posting Komentar